Algebra und Diskrete Mathematik 1: Grundbegriffe der by Dietlinde Lau

By Dietlinde Lau

Algebra und Diskrete Mathematik gehören zu den wichtigsten mathematischen Grundlagen der Informatik. In diese mathematischen Teilgebiete führt Band 1 des zweibändigen Lehrbuchs umfassend ein. Dabei ermöglichen klar herausgearbeitete Lösungsalgorithmen, viele Beispiele und ausführliche Beweise einen raschen Zugang zum Thema. Die umfangreiche Sammlung von Übungsaufgaben hilft bei der Erarbeitung des Stoffs und zeigt darüber hinaus, welche unterschiedlichen Anwendungsmöglichkeiten es gibt. Die three. Auflage wurde korrigiert und erweitert.

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X ∨ x) ∧ y) ∨ y = (1 ∧ y) ∨ y = 1. Definition Ein Boolescher Term heißt Tautologie (oder allgemeing¨ ultiger Ausdruck), wenn er zu 1 a quivalent ist. , jede Tautologie ist das Schema einer Schar von Aussagen, die auf Grund ihrer logisch sprachlichen Struktur, also unabh¨ angig vom konkreten Inhalt, wahr sind. Das systematische Aufsuchen derartiger Schemata geh¨ort zu den ¨altesten Aufgaben der Logik. Terme F1 , F2 sind u ¨ brigens gleich, wenn F1 ⇐⇒ F2 eine Tautologie ist. L¨ aßt sich nun jede Boolesche Funktion mit Hilfe eines Terms beschreiben?

A b = f (a) .. . √ Beispiel Es sei A = N und B = R. Dann ist f := {(a, b) ∈ A ×√ B | b = a} eine Abbildung, die man auch in der Form f : N −→ R, a → a angeben kann. Definitionen Es sei f : A −→ B eine Abbildung, A0 ⊆ A, B0 ⊆ B und b ∈ B. Dann sei • f (A0 ) := {f (a) | a ∈ A0 } ( Bild“ von A0 ), ” • f −1 (b) := {a ∈ A | f (a) = b} ( Urbild“ von b), ” • f −1 (B0 ) := {a ∈ A | f (a) ∈ B0 } ( Urbild“ von B0 ), ” • f|A0 := {(a, f (a)) | a ∈ A0 } bzw. f|A0 sei die durch f|A0 : A0 −→ B, a → f (a) definierte Abbildung, die Einschr¨ ankung (oder Beschr¨ ankung oder Restriktion) von f auf A0 genannt wird.

Verstehen kann man die dort angegebenen Beweise jedoch erst, nachdem man sich ausf¨ uhrlich mit Mathematischer Logik besch¨ aftigt hat. Da die Mathematische Logik ein wichtiger Bestandteil der Grundlagenmathematik bildet, wollen wir einige Anfangs¨ uberlegungen dieser Theorie im n¨ achsten Abschnitt behandeln. 6 Boolesche Funktionen und Pr¨ adikate Definitionen Es sei B := {0, 1}, n ∈ N, M eine nichtleere Menge und R ⊆ M n eine n-stellige Relation u ¨ber M . , f : B n −→ B. • adikat u Eine Abbildung P : M n −→ B heißt n-stelliges Pr¨ ¨ ber M .

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